Зададимся вопросом, насколько высоки требования к точности задания коэффициентов полиномов дискретной передаточной функции (ДПФ)? Возможно, ответ позволит ответить и на вопрос, можно ли пренебречь некоторыми слагаемыми Z-характеристического полинома, по примеру p-передаточной функции непрерывной модели, когда без особого ущерба для ее свойств можно пренебречь несколькими относительно малыми постоянными времени. Упрощение записи Z-передаточной функции позволило бы упростить модель, а значит, лучше ее воспринимать, чувствовать ее свойства.
Попробуем ответить на эти и сопутствующие вопросы.
Непрерывное звено третьего порядка с положительными коэффициентами характеристического p-полинома обладает практически всеми важными, значимыми свойствами непрерывной динамической линейной системы и, поэтому, может служить моделью, аппроксимацией практически любой линейной системы. Более того, для устойчивой САР, зачастую, достаточно модели второго порядка, чтобы весьма полно отразить ее свойства.
Зададимся вопросом: какой минимальный порядок должен быть у дискретного звена, чтобы оно могло промоделировать дискретно-непрерывную САР достаточно полно, т.е. обладать ее основными свойствами? Под дискретно-непрерывной САР имеется в виду САР с непрерывным динамическим объектом управления и дискретно-цифровым регулятором или просто непрерывная САР.
Как показано в [1] дискретное звено второго порядка обладает всеми основными свойствами линейной системы: пропорциональностью, инерцией, апериодичностью, колебательностью, устойчивостью и неустойчивостью, задержкой, наконец. Поэтому есть смысл проверить дискретное звено второго порядка на предмет соответствия основной простейшей, но довольно точной, непрерывной модели САР. И если оно подойдет для таких целей, то было бы полезно найти процедуру упрощения звена со сложной Z-передаточной функцией путем замены его дискретным звеном второго порядка.
Реальные объекты и системы управления, разве что за исключением регуляторов, являются непрерывными и поэтому их целесообразно описывать, анализировать и оптимизировать с применением математического аппарата дифференциальных уравнений. Для реализации цифровых алгоритмов управления, несомненно, удобны дискретные модели регуляторов, а посему для обеспечения общности описания может иметь смысл моделировать систему управления целиком как дискретную. Тем более что дискретные модели в полной мере описывают непрерывные динамические системы, в том числе и со звеньями запаздывания.
Отсюда вытекает значимость рассмотрения вопроса о том, насколько подробно должна быть описана система регулирования в дискретном виде, чтобы модель содержала все основные свойства системы, но в то же время была достаточно простой, чтобы можно было ее легко анализировать, синтезировать, оптимизировать.
Конечно, рутинные системы управления технологическими процессами, могут быть вполне синтезированы как непрерывные, а затем полученный алгоритм управления может быть реализован в дискретно-цифровой форме. Однако если система с непрерывными элементами изначально промоделирована как дискретная, то имеет смысл определить, какая у нее должна быть Z-передаточная функция, чтобы соответствовать реальной системе управления, работающей качественно, и быть обозримой и понятной. А затем подобрать такой алгоритм работы цифрового регулятора, чтобы реализовать такую САР.
В классических учебниках по теории управления неизменно указывается на очень интересное свойство дискретной модели с Z-передаточной функцией вида:
поскольку переходный процесс в такой модели заканчивается за небольшое количество n тактов дискретизации. Однако с практической точки зрения такое свойство не всегда и полезно.
В настоящее время цифровые процессоры, АЦП и ЦАП уже столь мощны и столь дешевы, что во многих задачах, связанных с управлением технологическими процессами, частота дискретизации не ограничивается быстродействием цифрового процессора, а инвариантность, обеспечиваемая (1.1.1) в общем-то, и не требуется, более того, требование инвариантности может оказаться чрезмерно жестким.
Действительно, в рутинных технологических процессах, обжига, сушки, различных приводах, и др. пусть заурядных с точки зрения управления, но очень важных в практическом, экономическом отношениях, зачастую требуется в первую очередь плавность регулирования, а быстродействие, ограничиваемое этим фактором, должно просто находиться в разумных пределах, и быть довольно умеренным.
О выборе частоты дискретизации. С одной стороны, частота дискретизации должна быть достаточно высокой, чтобы переходные свойства дискретной модели были близки к свойствам моделируемой непрерывной системы. С другой стороны, частота дискретизации должна быть такой, чтобы процессор, совместно с АЦП и ЦАП успевали обрабатывать сигналы.
Для выполнения первого условия коэффициенты характеристического Z-полинома дискретной модели второго порядка должны находиться в зоне, прилегающей к "юго-западной" границе области устойчивости [1] , рис. 3.2.5.
Рис. 1.1.1. Непрерывная модель второго порядка и ее дискретные аналоги при разных значениях периода дискретизации dT. Малый, по отношению к длительности переходного процесса период дискретизации дискретной модели, позволяет работать звену в режиме "медленной" колебательности или апериодичности [1]. По мере увеличения периода дискретизации режим дискретного звена по отношению к рассматриваемому непрерывному звену смещается в сторону "быстрых" колебательности или апериодичности, что приводит к плохому воспроизведению переходной функции исходного непрерывного звена. "Медленный" режим работы дискретного звена близко соответствует поведению реальных непрерывных динамических систем.
Отметим, что сумма коэффициентов характеристического Z- полинома верхнего дискретного звена, переходная характеристика которого весьма точно повторяет переходную характеристику исходного непрерывного звена, очень мала по сравнению с модулями коэффициентов, поскольку близки дробные части последних двух коэффициентов. При чрезмерно большом шаге дискретизации сумма коэффициентов становится существенной по сравнению с коэффициентами
Из анализа качества переходного процесса дискретного звена второго порядка [1], рис. 3.2.4 можно сделать вывод, что область изменения параметров этого звена, в частности коэффициентов характеристического Z-полинома, в которой оно соответствует дискретным моделям реальных систем, занимает левую часть области устойчивости, тяготея к ее "юго-западной" границе.
Рис. 1.1.2. Окрестность левой нижней ("юго-западной") границы области устойчивости дискретного звена второго порядка соответствует поведению реальных непрерывных систем, когда период дискретизации значительно меньше постоянных времени непрерывной моделируемой системы. Синей линией примерно показана граница "медленных", по сравнению с частотой дискретизации, апериодического и колебательного режимов, как устойчивого, так и неустойчивого. Как видно, звенья с "медленными" апериодичностью и колебательностью тяготеют к окрестностям верхней левой части графика (вблизи синей линии). При этом значения коэффициента а1 отрицательны. Период дискретизации dT = 0.01 сек
Уточним количественную связь коэффициентов характеристического Z-полинома со свойствами непрерывного звена, в той части области плоскости корней этого полинома, где такая связь имеется, т.е. в районе "юго-западной" границы области устойчивости дискретного звена второго порядка.
Соответствие между непрерывным и дискретным звеньями устанавливалась в Vissim'е, в ознакомительной 6-й версии, которая использует для перехода от непрерывного к дискретному звену подстановку Тастина. Пример соответствия:
Рис. 1.2.1. Непрерывный фильтр Баттерворта и его дискретный аналог
Фильтр Баттерворта является моделью оптимальной САР, настроенной на модульный оптимум (МО), поэтому выберем его в качестве базового для сравнения с САР с другими параметрами переходного процесса.
Ниже построена диаграмма качества переходного процесса непрерывного эквивалента дискретного звена второго порядка, т.е. совокупность линий равного перерегулирования эквивалента, точки которых соответствуют точно такому же качеству переходного процесса, что и у дискретного звена. Повторим, что для состоятельного моделирования дискретным звеном реальной непрерывной системы управления необходимо, чтобы период дискретизации dT сигналов был много больше, в три - пять, а лучше в десять и более раз, длительности переходного процесса tp моделируемой системы.
Предлагаемая диаграмма покрывает широкий диапазон соотношения длительности переходного процесса tp звена к периоду дискретизации dТ: от трех - пяти до шести тысяч раз, вполне достаточного для описания большей части реальных непрерывных систем.
Рис. 1.2.2. Диаграмма качества переходного процесса дискретной модели непрерывного звена второго порядка. По осям координат отложены значения коэффициентов характеристического Z-полинома дискретного звена второго порядка. Более подробно параметры диаграммы проставлены на следующей диаграмме, см. рис. 1.2.3.
Как видно, дискретное звено второго порядка соответствует непрерывному в довольно узкой зоне (приблизительно внутренность эллипса), тяготеющей к "юго-западной" границе области устойчивости и ее "западному" углу. Эта граница является границей апериодического и колебательного характера поведения звена. Апериодические свойства неустойчивого дискретного звена, проявляются ниже границы и ее продолжения влево - вверх, а "медленная" колебательная неустойчивость проявляется только выше продолжения границы в левую верхнюю сторону (см. рис. 1.1.2.) и выше верхней границы усточивости (левой ее части).
Линии равного перерегулирования, определяемого декрементом затухания непрерывного колебательного звена, при увеличении его постоянной времени, а, следовательно, и продолжительности переходного процесса, устремляются к верхней части левой границы устойчивости. Это значит, что сумма коэффициентов Z-характеристического полинома (1 + а1 + а2) стремится к нулю. Это говорит о том, что требования к точности задания коэффициентов Z-полинома высоки и с увеличением требуемого времени регулирования возрастают. Отметим, что сумма коэффициентов Z-полинома определяет и коэффициент усиления дискретного звена. Период дискретизации dT = 0.1 сек
Левую нижнюю, "юго-западную" границу области устойчивости дискретного звена второго порядка можно условно назвать границей динамической устойчивости, поскольку в области, тяготеющей к этой границе, свойства дискретного звена близки к свойствам реальных динамических, непрерывных звеньев. В отличие от этой границы, границы верхнюю справа и правую нижнюю ("юго-восточную") можно назвать алгоритмическими (или если угодно, "виртуальными"), поскольку там проявляется "быстрая" колебательность (или апериодичность) дискретного звена второго порядка, весьма отдаленная от свойств реальных динамических систем, но вполне соответствующая свойствам цифровых алгоритмов обработки сигналов.
Поскольку на рис. 1.2.2. невозможно достаточно точно показать близость точек к линии границы устойчивости, представим сумму коэффициентов характеристического Z-полинома (1 + а1 + а2), отражающую близость точек к границе устойчивости, в зависимости от коэффициента а1 и покажем эту зависимость в полулогарифмическом масштабе:
Рис.1.2.3. Диаграмма качества переходного процесса дискретного звена второго порядка, выраженная по сумме коэффициентов его характеристического Z-полинома в полулогарифмическом масштабе. Коллаж фрагментов рабочего листа Маткада с дополнительно прорисовкой.
Диаграмма построена для периода дискретизации dT = 0.1 сек. По осям координат отложены сумма коэффициентов характеристического Z-полинома и коэффициент а1 соответственно, а вдоль изолиний равного перерегулирования отложены значения длительности переходных процессов соответствующих непрерывных эквивалентов. Часть значений параметров, чтобы не перегружать график, вынесена в таблицы справа. Т - постоянная времени непрерывного колебательного звена, Decr - декремент затухания, tp - длительность переходного процесса.
Отметим, что чем выше отношение длительности переходного процесса tp к периоду дискретизации dT, т.е. чем ближе а1 к -2, тем выше требования к точности представления коэффициентов характеристического Z-полинома, поскольку разность модулей дробных частей младших коэффициентов, или, что то же самое, сумма коэффициентов характеристического Z-полинома, положительна и быстро уменьшается с увеличением длительности переходного процесса. Чувствительность характеристик и свойств дискретной модели реальной САР существенно повышается в приближением справа значения коэффициента а1 к -2.
Как видно по "слому" наклона изолиний равного перерегулирования, в определенном смысле оптимальной является сумма коэффициентов, равная 0.01, при которой, с одной стороны чувствительность свойств к изменению коэффициента а1 еще сравнительно мала, а с другой стороны, отношение времени регулирования tp к периоду дискретизации dT также еще относительно невелико, составляя величины от 50 до 300, при широком изменении свойств от колебательных до весьма инерционных
Итак, сумма коэффициентов характеристического Z- полинома дискретной модели непрерывной САР мала по сравнению с модулями его коэффициентов и положительна, т.е. дробная часть первого, отрицательного коэффициента меньше дробной части второго коэффициента.
Напомним, что изменение, например уменьшение в десять раз, периода дискретизации, при сохранении значений коэффициентов полиномов Z-передаточной функции дискретного звена, уменьшает в десять же раз длительность переходного процесса [8, п. 2.4.2, рис. 2.19]. Поэтому представленная диаграмма качества является универсальной, применима для любых значений периода дискретизации и длительности переходного процесса. Имея диаграмму рис. 1.2.3, можно по Z-передаточной функции дискретного звена, зная период дискретизации, определять параметры качества переходного процесса моделируемой САР. И наоборот, если требуется построить модель САР с заданными параметрами переходной функции, то можно определить коэффициенты характеристического Z-полинома и всю Z- передаточную функцию (ДПФ) дискретной модели САР.
Параметрическую чувствительность дискретного звена второго порядка можно характеризовать скоростью приращения относительной суммы коэффициентов характеристического Z-полинома в зависимости от величины коэффициента а1 этого полинома:
Рис. 1.3.1. Чувствительность относительной суммы коэффициентов характеристического Z-полинома дискретного звена второго порядка к изменению коэффициента а1 существенно падает с его увеличением от -1.9 к -1, т.е. при уменьшении отношения времени регулирования Т к периоду дискретизации сигнала dT. Оптимальным отношением (Т/ dT)опт с точки зрения минимальной чувствительности при все еще качественном воспроизведении переходной функции является значение порядка 10 - 50.
Диаграмма показывает, наряду с диаграммой качества рис. 1.2.3, что стремление увеличить точность воспроизведения переходной функции непрерывного звена дискретным звеном путем увеличения отношения (Т/ dT), или что тоже, устремления коэффициента а1 к -2 справа, приводит к необходимости задания коэффициентов характеристического Z-полинома с высокой и возрастающей точностью.
Для перерегулирования 5% хорошее отношение (Т/ dT)опт примерно равно 5 и менее (при а1 = -1.3 и менее), для перерегулирования 20% хорошее отношение (Т/ dT)опт примерно равно 6 и менее (при а1 = -1.1 и менее), для декремента затухания, равного 5, хорошее значение (Т/ dT)опт = 400 и менее (при а1 = -1.5 и менее).
Диаграмма качества рис. 1.2.3 и диаграмма чувствительности рис. 1.3.1 определяют требования к точности задания коэффициентов характеристического Z-полинома. Коэффициенты должны быть заданы настолько точно, чтобы сумма коэффициентов определялась с точностью, не хуже, чем в две - три значащих цифры.
Рассмотрим пример. Пусть имеется непрерывная система (САР), представленная фильтром Баттерворта второго порядка. Посмотрим, как влияет округление значения коэффициентов полиномов числителя и знаменателя на вид переходной функции эквивалентного фильтру Баттерворта дискретного звена второго порядка.
Рис. 1.4.1. Фильтр Баттерворта второго порядка и его дискретные аналоги. Замена числителя Z-передаточной функции суммой его коэффициентов, с учетом этой суммы в ее коэффициенте пропорциональности практически никак не сказывается на свойствах модели. Округление коэффициентов характеристического Z-полинома допустимо до тех пор, пока сумма коэффициентов задается с относительной точностью, не хуже, чем 1 - 5 %. В данном случае достаточно округление до шести знаков, не менее. При сумме коэффициентов характеристического Z-полинома, равной нулю, звено монотонно неустойчиво, точнее находится в граничном режиме усточивости
Действительно ли требования к точности задания коэффициентов характеристического Z-полинома столь же жесткие, как и к точности их суммы, или их совместно можно несколько "смещать" в большую или меньшую сторону?
Рис. 1.4.2. Непрерывная модель второго порядка (фильтр Баттерворта) и его дискретные модели, коэффициенты характеристических Z-полиномов которых округляются с разной точностью. Требования к точности задания одного из коэффициентов сравнительно менее жесткие, чем требования к точности задания суммы коэффициентов, а, следовательно, и к точности задания второго коэффициента
Как видно, свойства дискретного звена очень чувствительны к величине суммы коэффициентов характеристического Z-полинома, и относительно менее чувствительны к значениям младших коэффициентов этого полинома.
Свойства дискретного звена малочувствительны к наличию Z-полинома в числителе Z-передаточной функции, достаточно лишь учесть сумму коэффициентов этого полинома в ее коэффициенте пропорциональности.
Сумма коэффициентов характеристического Z-полинома является одним из важных параметров дискретной модели реальной системы. Эта сумма определяет как статический коэффициент усиления звена (совместно с коэффициентом пропорциональности Z-передаточной функции и сумой коэффициентов ее числителя), так и показатели качества модели: время регулирования и перерегулирование.
Требования к точности задания параметров дискретного звена второго порядка, т.е. коэффициентов характеристического Z-полинома а1 и а2, высоки и тем выше, чем больше периодов дискретизации укладывается за время длительности переходного процесса. Количественные требования к заданию коэффициентов определяются вышеприведенными диаграммами, показывающими величину суммы коэффициентов, которую нужно выдержать с точностью, не хуже, чем в 1% - 5%.
1. Область устойчивости дискретного звена второго порядка можно условно разделить на зоны "медленного", по сравнению с частотой дискретизации, и "быстрого" изменения переходной функции звена. Зона "медленного" изменения переходной функции соответствует непрерывным САР, описанных ДПФ, такими, что период дискретизации значительно меньше, чем длительность переходного процесса, т.е. непрерывным САР с правильно выбранной частотой дискретизации.
2. Зона соответствия дискретного звена второго порядка реальным динамическим системам весьма узка, и тяготеет к границе динамической устойчивости. Эту зону можно разделить на подзоны, в которых свойства дискретного звена соответствуют колебательному и апериодическому режимам непрерывной системы или объекта. В свою очередь, подзону апериодического режима можно разделить на регион, где свойства дискретного звена соответствуют апериодическому звену второго порядка, и регион, где оно соответствует апериодическому звену первого порядка.
3. Чем ближе значения и соотношение коэффициентов характеристического Z-полинома к границе динамической устойчивости, тем более инерционному, "медленному" объекту соответствует дискретное звено.
4. Чувствительность свойств дискретного звена к изменению коэффициентов его характеристического Z-полинома тем больше, чем ближе звено к динамической границе устойчивости. Это определяется соотношением длительности переходного процесса моделируемого непрерывного звена и периода дискретизации. Чем больше это соотношение, тем точнее нужно задавать коэффициенты характеристического Z-полинома, так, чтобы и их сумма была задана с точностью не хуже двух - четырех значащих цифр. Это может означать, что сами коэффициенты, поскольку они в сумме близки к нулю, должны задаваться с большим количеством значащих цифр, зачастую семь и более.
5. Для упрощения записи Z-передаточной функции можно ее числитель заменять единицей (или старшей степенью z), коэффициент пропорциональности - произведением его на сумму коэффициентов числителя. Можно еще разделить коэффициент на сумму коэффициентов знаменателя, т.е. характеристического Z-полинома, коэффициенты которого следует нормировать по их сумме, при этом этот коэффициент пропорциональности Z-передаточной функции становится и статическим коэффициентом звена.
Наличие в арсенале исследователя компьютерных программ объектно-ориентированного моделирования на первый взгляд должно бы сделать приближенные методы исследования систем автоматического управления устаревшими. Однако, при всем удобстве таких программ, неизмеримо повышающих производительность и точность моделирования, окончательный анализ результатов проводит человек. При этом и сохраняется высокая значимость приближенных методов оценки свойств объектов и систем управления, позволяя исследователю качественно чувствовать результат, тем самым проверяя сущность и состоятельность точной модели, реализованной программно.
Исходя из этого положения, полезно взглянуть на дискретную модель САР, предварительно ее упростив. Но для этого нужно знать, чем в Z-передаточной функции можно пренебречь, а какие параметры не должны игнорироваться.
Устойчивые непрерывные системы автоматического управления обладают весьма полезным свойством: как правило, коэффициенты характеристического p-полинома весьма быстро убывают с повышением степени. Это обусловлено наличием в САР звеньев с весьма существенно, может быть, в несколько раз или даже на несколько порядков, различающимися постоянными времени. Это позволяет пренебречь несколькими малыми постоянными времени, заменить такие звенья безинерционными, в результате можно пренебречь несколькими старшими членами характеристического полинома, практически без потерь свойств модели. Это упрощает восприятие модели человеком, делает более прозрачными ее свойства.
Рис. 2.1.1. Исходная, пятого порядка, и упрощенная, второго порядка, модели линейной системы обладают практически одинаковыми динамическими свойствами. Это потому, что старшие коэффициенты р - характеристического полинома исходной модели достаточно быстро убывают, или, что эквивалентно, частотные характеристики в низкочастотной и среднечастотной областях близки, или, что то же, три корня, действительный и пара комплексно-сопряженных отстоят довольно далеко от основной пары корней, которые у полной и у приближенной моделей близки, или, наконец, это потому, что постоянные времени исходной модели существенно, на порядок различаются
Рис.2.1.2. Модель второго порядка непрерывной системы сравнительно мало отличается от исходной, модель третьего порядка весьма хорошо аппроксимирует исходную. Дискретные аналоги этих моделей, полученные для периода дискретизации dT = 0.1 сек, повторяют свойства аналогичных непрерывных моделей, значение их коэффициентов задается с весьма высокой точностью
Наличие многих слагаемых, к тому же заданных с высокой точностью в полиномах Z-передаточных функций моделей затрудняет их восприятие и анализ. Упростить модели можно следующим образом.
Было бы полезно установить, возможно ли в дискретных системах, так же, как и в непрерывных упрощение записи Z-переходной функции путем исключения некоторых слагаемых, например старших членов характеристического Z-полинома?
Как было показано выше, полином числителя можно, без особого огрубления свойств объекта, заменить суммой коэффициентов этого полинома. Можно эту сумму умножить и на степень z, меньшую или равную степени полинома числителя.
Это можно сделать потому, что полином числителя влияет на поведение переходной функции только в первые несколько тактов дискретизации, число которых не больше степени полинома знаменателя. Поскольку рассматривается случай, когда период дискретизации много меньше времени переходного процесса, то за несколько тактов, определяемых числителем, отличия малозаметны. При единице в числителе это просто задержка начала переходной функции на число тактов, равное степени знаменателя, при наличии степени z в числителе, эта ступенчатая задержка становится равной разности степеней знаменателя и числителя [8], рис.2.2.1 и 2.2.2.
Рис. 2.2.1. Числитель Z-передаточной функции вполне может быть заменен на сумму его коэффициентов, умноженную на единицу, или на старшую, или меньшую степень z. Сумма коэффициентов (коэффициент в числителе второй модели) может быть учтена в коэффициенте пропорциональности Z-передаточной функции - нижняя модель
Предлагаемая методика основывается на исключении из характеристического Z-полинома сомножителей с корнями, слабо влияющими на вид переходной функции. Такими корнями являются корни, модуль которых меньше 0.3 - 0.4, и даже 0.5 [1], рис. 2.2.10 и 3.2.4, а также рис. 1.1.2, см. выше, потому, что длительность переходного процесса соответствующих звеньев составляет всего несколько периодов дискретизации.
Конечно, поиск вручную корней характеристического Z-полинома, чем занимался еще Хэвисайд, чрезмерно кропотливая работа, но в Маткаде реализована замечательная символьная функция parfrac, позволяющая без труда разложить дробно-рациональную функцию на сумму элементарных дробей:
Рис. 2.2.2. Разложение в Маткаде дробно-рациональной Z-передаточной функции промежуточной упрощенной модели на элементарные дроби показывает, что эта модель может быть представлена в виде параллельного соединения трех дискретных звеньев первого порядка и одного дискретного звена второго порядка
Из выражения Z-передаточной функции следует, что первыми двумя дробями можно немедленно пренебречь, поскольку модули корней их знаменателей меньше 0.4, а, кроме того, сравнительно очень малы и их коэффициенты усиления.
С третьим слагаемым не так просто, поскольку модуль его корня знаменателя 0.545 пожалуй великоват, да и коэффициент усиления не мал, на первый взгляд. Тем не менее, попробуем пренебречь и им, но предварительно посмотрим, какой вклад вносят в переходную функцию САР эти слагаемые:
Рис. 2.2.3. Звенья с корнями их характеристических Z-полиномов, меньшими по модулю 0.55 практически не сказываются на форме переходного процесса всей анализируемой системы управления, поскольку их переходные функции длятся очень короткое время. Кроме того и потому, что их усиление мало по сравнению с усилением главного, четвертого компонента, модули корней которого составляют 0.937, т.е. очень близки к единице, а сумма коэффициентов характеристического Z-полинома четвертого компонента мала. Для учета того, что все-таки три звена выброшены, коэффициент усиления модели второго порядка скорректирован с 0.332 до 0.342 с тем, чтобы установившиеся значения переходных функций совпадали еще лучше
В итоге, трудно воспринимаемая дискретная модель САР превратилась в сравнительно простую модель, представляющую собой дискретное звено второго порядка:
Рис. 2.2.4. Переходные функции исходной модели САР и упрощенной модели второго порядка весьма близки. Округление коэффициентов характеристического Z-полинома слегка изменяет и их сумму, что требует небольшой коррекции коэффициента пропорциональности Z-передаточной функции
Примечание. Выше была проведена процедура упрощения звена с использованием формулы Хэвисайда, но можно использовать и альтернативный вариант, раскладывая на простейшие множители характеристический Z-полином исходной САР и пренебрегая сомножителями с малыми модулями корней.
Почему же именно сумма коэффициентов характеристического Z-полинома играет такую значимую роль в определении свойств, т.е. устойчивости и качества дискретной модели второго порядка для непрерывной динамической системы?
Для тех, кто еще не сообразил, в чем тут дело, ответ прост: эта сумма определяет положение характеристической точки звена относительно "юго-западной" границы области устойчивости, т.е. границы динамической устойчивости. Действительно, уравнение этой границы:
Рис. 2.2.5. Граница динамической устойчивости дискретного звена второго порядка определяется суммой коэффициентов его характеристического Z-полинома
Таким образом, если сумма коэффициентов больше нуля, и, кроме того, выполняются еще и условия, что а2 < 1 и -2 < а1 < 0, то САР устойчива. Это необходимое и достаточное условие устойчивости дискретной модели второго порядка качественной непрерывной САР. Если сумма отрицательна, то САР не устойчива.
Модели качественных САР, САР, имеющих переходный процесс хорошего качества, имеют коэффициенты а1 и а2, тяготеющие к верхнему левому углу области устойчивости дискретного звена второго порядка (а2 > 0). Поэтому сумма коэффициентов для таких систем мала по сравнению с модулем каждого из них и положительна. Или, другими словами, дробная часть коэффициента а2 несколько больше дробной части коэффициента а1. По этому признаку можно мгновенно оценить качество САР по ее Z-передаточной функции.
Итак, числитель Z-передаточной функции дискретной модели практически без потери точности может быть заменен суммой коэффициентов его полинома. Иногда имеет смысл домножить эту сумму еще и на малую, не превышающую степень полинома числителя, степень z.
Пренебрегать можно теми слагаемыми представленной в виде суммы элементарных дробей Z-передаточной функции, модули корней которых малы, меньше 0.3 - 0.5, а также теми, у которых относительно малы коэффициенты пропорциональности.
Аналогично, пренебрегать можно теми сомножителями представленного в виде простейших сомножителей первого и второго порядка характеристического Z-полинома, у которых корни очень близко находятся к началу координат, т.е. модули их малы.
Пренебрегать любым, пусть малым, коэффициентом характеристического Z-полинома нельзя.
Округлять коэффициенты характеристического Z-полинома следует так, чтобы сумма этих коэффициентов сохраняла две - четыре значащих цифры.
При оценке устойчивости дискретной системы с использованием критерия Гурвица [3], стр. 514-515 и [9], стр. 269 используют отображение круга из плоскости корней характеристического Z-полинома на левую часть плоскости корней характеристического р - полинома и обратно:
Здесь может возникнуть ощущение, что корни в обеих системах координат соответствуют непрерывной и дискретной моделям одной и той же системы управления. Но это заблуждение.
Действительно, возьмем в плоскости корней непрерывной системы область, соответствующую САР (системе автоматического регулирования) с хорошим качеством переходного процесса, у которой перерегулирование не превышает 5%, и отобразим ее в плоскость корней дискретной модели:
Рис. 3.1. Отображение области корней непрерывной САР хорошего качества в область корней дискретных моделей. Цвет корней на правой диаграмме взаимно-однозначно соответствует цвету корней на левой диаграмме
Соотнесем свойства непрерывной модели, имеющей корни, находящиеся на границах области хорошего качества, со свойствами дискретной модели, корни которой получены названным выше преобразованием:
Рис. 3.2. Как видно, свойства непрерывной и дискретной моделей совершенно разные. Общее у них лишь то, что обе они устойчивы, что только, собственно и требуется для использования критерия Гурвица
Таким образом, рассмотренное преобразование позволяет установить факт устойчивости или неустойчивости дискретной модели, преобразуя совокупность корней ее характеристического Z-полинома в плоскость корней непрерывной системы. Однако большего (запасов устойчивости, быстродействия и др.) из расположения корней соответствующей непрерывной системы узнать не удастся, поскольку она не эквивалентна исходной. По крайней мере, обычные приемы анализа свойств непрерывной САР по расположению ее корней, для того, чтобы судить о свойствах исходной дискретной модели тут не годятся.
Правильным образом, так, чтобы непрерывная и дискретная модели были эквивалентными, установить соответствие между областями поможет подстановка Тастина, которая, в частности, используется в Vissim'е:
Рис.3.3. Подстановка Тастина обеспечивает эквивалентность дискретной и непрерывной моделей САР, в частности, их переходных процессов. Период дискретизации dT = 0.1 сек
Перенеся результаты, полученные в Vissim'е, в Маткад, получим области эквивалентности моделей САР, как в плоскости корней непрерывной системы, так и в плоскости корней ее дискретной модели:
Рис. 3.4. Области эквивалентного качества непрерывной и дискретной моделей САР. Как видно, область хорошего качества САР (перерегулирование не более 5%) в круге устойчивости сравнительно мала. Именно в нее нужно перемещать корни характеристического Z-полинома при оптимизации САР. Область удовлетворительного качества построена для перерегулирования, не превышающего 20%, чтобы показать тенденцию изменения соответствующей области в плоскости Z-корней. Области построены для нормированной базовой постоянной времени и поэтому являются универсальными, достаточно лишь определить масштаб по времени, заданием значения базовой постоянной времени. Период дискретизации dT = 0.1 сек
Рис. 3.5. Области качества дискретной САР в плоскости корней характеристического Z-полинома в увеличенном масштабе. Внешняя (розовая) граница соответствует САР с перерегулированием не выше 20 %, внутренняя (синяя) граница соответствует перерегулированию не выше 5%. Это в случае, если дискретная система имеет комплексно-сопряженные корни на границах, если корни действительные, то переходный процесс, естественно, апериодический (монотонный)
Таким образом, область хорошего качества переходного режима дискретной модели САР расположена в правой части круга устойчивости дискретных моделей, вблизи ее правой границы.
Дискретная модель второго порядка соответствует реальным непрерывным системам только в узкой зоне области ее устойчивости в плоскости параметров характеристического Z-полинома, примыкающей к ее левой нижней границе.
Полученные диаграммы качества переходного процесса дискретного звена позволяют подбирать параметры дискретной модели по требуемым параметрам качества переходного процесса непрерывного объекта. И, наоборот, для имеющихся значений параметров Z- передаточной функции дискретной модели второго порядка по диаграмме качества можно определить показатели качества переходного процесса модели.
Моделировать, исследовать и оптимизировать системы автоматического регулирования промышленного назначения предпочтительнее в виде непрерывных динамических моделей, а уж потом алгоритм регулятора реализовывать в цифровом виде.
Это утверждение базируется на том, что параметры непрерывной модели, в частности, коэффициенты р - характеристического полинома, весьма прозрачно связаны с физическими параметрами САР и ее элементов: постоянными времени, коэффициентами усиления и т.п. Эта связь позволяет на всех этапах моделирования чувствовать степень состоятельности модели. В дискретных моделях САР связь между параметрами Z-передаточной функции и физическими характеристиками и параметрами САР и ее элементов весьма опосредована, что приводит к не наглядности дискретных моделей, и это затрудняет решение вопросов об их состоятельности.
Однако если требуется по каким-либо причинам изучить именно дискретную модель САР, то полезно использовать и ее приближенные дискретные модели. Для устойчивой САР часто достаточно модели второго порядка. Это позволит лучше чувствовать свойства и судить о состоятельности модели САР.
Область хорошего качества переходного режима дискретной модели САР расположена в правой части круга устойчивости дискретных моделей, вблизи ее правой границы.
- 1. Федосов Б.Т. Формы представления дискретных передаточных функций (ДПФ) и свойства дискретных моделей линейных звеньев . Рудный, 2010.
http://model.exponenta.ru/bt/bt_161_Discr_Zv_Pr.htm - 2. Федосов Б.Т. Классификация типовых звеньев на основе свойств линейных систем. Рудный. 2002
http://model.exponenta.ru/bt/bt_0002.html - 3. Лукас В.А. ТАУ. Изд. 3-е. Изд. УГГГА, Екатеринбург, 2002, - 675 стр.
- 4. Visual Solutions. Графический язык моделирования
http://vissim.com/ - 5. Федосов Б.Т. Об анализе САР со звеном задержки в контуре. Рудный. 2005
http://model.exponenta.ru/bt/bt_00115.html - 6. Федосов Б.Т. Кинедины и прогнодины - элементарные инерционные и прогнозирующие объекты. Рудный. 2005
http://model.exponenta.ru/bt/bt_00413.htm - 7. Федосов Б.Т. Виртуальные лабораторные стенды, краткая теория, задания и методические указания по выполнению лабораторной работы № 8-1 по курсам "ТАУ", системотехника и теория линейных и нелинейных систем на тему: Моделирование и исследование САР с дискретно-цифровым управлением непрерывными объектами. Для специальностей АУ (050702), ЭЭ (050718) и др. Рудный. 2007. Электронная книга формата chm. Файл пособия: 780 КБ, 26.03.2007
http://model.exponenta.ru/bt/bt_cont_3_Met.html#L3281
http://model.exponenta.ru/bt/TAU_Lab_8_1_070326.zip - 8. Федосов Б.Т. Виртуальные лабораторные стенды, краткая теория, задания и методические указания по выполнению лабораторной работы № 8-2 по курсам "ТАУ", системотехника и теория линейных и нелинейных систем на тему: Моделирование и исследование САР с дискретно-цифровым управлением непрерывными объектами. Для специальностей АУ (050702), ЭЭ (050718) и др. Рудный. 2008. Электронная книга формата chm. Файл пособия: 687 КБ, 22.03.2008
http://model.exponenta.ru/bt/bt_cont_3_Met.html#L3282
http://model.exponenta.ru/bt/TAU_Lab_8_2_080322.zip - 9. Попов Е. П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: Учебн. пособ. -М., :Наука, Гл. ред. ф-м лит. 1986, 302 с.
